On The Derivation Of A String Equation

В работе пересматривается вывод классического волнового уравнения, описывающего поперечные колебания упругой струны. Предлагаемый подход базируется на математически корректном применении второго закона Ньютона в случае малого участка струны. Помимо этого, приводится асимптотическое решение плоской задачи теории упругости для предварительно деформированной полосы. Показано, что обсуждаемое одномерное волновое уравнение соответствует главному длинноволновому низкочастотному приближению двумерного решения. В то же время, в следующем приближении уравнение движения струны уже не является гиперболическим, вследствие появления дисперсионного члена с четвертой производной.
Աշխատանքում վերանայվում է լարի լայնական տատանման կլասիկ հավասարումների արտածումը: Առաջարկվող մոտեցումը հիմնվում է լարի փոքր տեղամասում Նյուտոնի երկրորդ օրենքի մաթեմատիկորեն խիստ կիրառման վրա: Բացի այդ բերվում է նախօրոք դեֆորմացված շերտի առաձգականության տեսության հարթ խնդրի ասիմպտոտիկ լուծումը: Ցույց է տրված, որ քննարկվող միաչափ ալիքային հավասարումը համապատասխանում է երկչափ լուծման ցածր հաճախության մոտարկմանը: Միևնույն ժամանակ հաջորդ մոտարկման լարի շարժման հավասարումը արդեն հիպերբոլիկ չէ, չորրորդ ածանցյալով դիսպերսիոն անդամի առաջացման պատճառով:
The traditional derivation of the wave equation for an elastic string is revised. The focus is on a rigorous implementation and subsequent analysis of the Second Newton’s Law adapted for a small string element. Asymptotic treatment of the plane strain problem for a pre-stressed elastic strip shows that the 1D classical wave equation corresponds to the leading order long-wave low-frequency approximation. At the same time, the next order approximation is not given by a hyperbolic equation supporting a dispersive transverse motion.