Случайная копия отрезка внутри выпуклой области

Пусть S – отрезок длины l, а D – ограниченная выпуклая область на евклидовой плоскости R2. Мы рассматриваем случайную копию L отрезка S при условии, что она пересекает D. Обозначим через |L| длину отрезка L ∩ D. В статье приводится явное выражение для функции распределения F|L|(x) случайной величины |L|. Отметим, что F|L|(x)может иметь скачок в точке l, или быть непрерывной функцией в зависимости от параметра l и области D. В частности, устанавливается связь между функцией распределения длины хорды области D и F|L|(x). Кроме того, приводятся элементарные выражения функции распределения F|L|(x) для круга и правильных n-угольников при n = 3 - 7. В статье приводятся также графики F|L|(x) для правильных n-угольников со стороной 1 и l = 1 при n = 3 - 7. Under the assumption that S is a segment of the length l and D is a bounded, convex domain in the Euclidean plane R2, the paper considers the randomly moving copy L of S, under the condition that it hits D. Denote by |L| the length of L ∩D. In the paper an elementary expression for the distribution function F|L|(x) of the random variable |L| is obtained. Note that F|L|(x) can have a jump at the point l or can be a continuous function depending on l and the domain D. In particular, a relation between chord length distribution functions of D and F|L|(x) is given. Moreover, we derive explicit forms of F|L|(x) for the disk and regular n-gons with n = 3 - 7.