Интегральное уравнение Вольтерра в стереологии многоугольников

Задача Виксела - одна из старейших в стереологии. На плоскости имеется совокупность дисков случайного радиуса, центры которых образуют трансляционного инвариантный точечный процесс. Пересечение "тестовой прямой" с этими дисками порождает одномерный случайный процесс хорд. Задача Виксела : по заданному вероятностному распределению длины типичной хорды определить распределение длины радиуса типичного круга. В такой постановке задача сводится к интегральному уравнению Абеля. Если области суть гомотетичные копии некоторой области отличной от круга, глобальная изотропия сохраняется при применении к областям независимых равномерных вращений. Однако, в этой постановке удовлетворительное решение отсутствует. В настоящей статье рассматриваются равносторонние N-угольника случайных размеров, изотропно разбросанные на плоскости. Шейпы многоугольников случайны и подчиняются вероятностному распределению S, заданному в соответствующем пространстве шейпов. Показано, что при определенных условиях на S, нахождение распределения размеров может быть сведено к решению интегрального уравнения Вольтерра с ограниченным ядром, зависящем только от S. Равносторонние треугольника и ромбы выпадают, однако существуют конкретные случайные модели равносторонних пятиугольников, удовлетворяющих всем перечисленным условия,