О точном решении интегрального уравнения одной контактной задачи математической теории упругости - Мхитарян, С. М.; Гаспарян, А. В.; Саргсян, А. С. (ՀՀ ԳԱԱ «Գիտություն» հրատ.)
Рассматривается задача о контактном взаимодействии стрингера конечной длины с упругим слоем, нижняя граница которого жестко защемлена, при антиплоской деформации. Для стрингера принята модель Мелана в случае антиплоской деформации, описываемая простейшим дифференциальным уравнением второго порядка. В отличие от традиционной постановки задач о передаче нагрузок от стрингеров к массивным деформируемым телам принята другая постановка задачи, когда предварительно задаются упругие перемещения точек стрингера, а затем определяются действующие на стрингер силовые факторы, обеспечивающие заданный режим упругих перемещений. В такой постановке решение задачи сведено к решению ИУ Фредгольма первого рода с симметрическим разностным от гиперболического котангенса логарифмическим ядром. Точное решение этого уравнения построено при помощи спектральных соотношений, содержащих многочлены Чебышева первого рода с аргументом в виде неполной эллиптической функции первого рода. Рассмотрен частный случай абсолютно жесткого стрингера и установлена зависимость между жестким перемещением стрингера и действующей на его центре осевой сосредоточенной силой. Հակահարթ դեֆորմացիայի պայմաններում դիտարկվում է ստորին նիստը կոշտ ամրակցված տարածական շերտի և վերջավոր երկարության վերադիրի կոնտակտային փոխազդեցության խնդիրը: Վերադիրի համար ընդունված է հակահարթ դեֆորմացիայի ժամանակ Մելանի մոդելը, որը նկարագրվում է երկրորդ կարգի պարզագույն դիֆերենցիալ հավասարումով: Այստեղ, ի տարբերություն վերադիրներից դեֆորմացող հոծ մարմիններին ուժերի փոխանցման խնդիրների ավանդական դրվածքի, ընդունված է խնդրի ուրիշ դրվածք, երբ նախապես տրվում են վերադիրի կետերի առաձգական տեղափոխությունները, իսկ այնուհետև որոշվում են տեղափոխությունների տրված ռեժիմն ապահովող վերադիրի վրա ազդող ուժային գործոնները: Այս պիսի դրվածքով խնդրի լուծումը բերվել է արգումենտների տարբերությունից կախված և հիպերբոլական կոտանգենս պարունակող սիմետրիկ լոգարիթմական կորիզով Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի ինտեգրալ հավասարման լուծման: Այս հավասարման ճշգրիտ լուծումը կառուցված է առաջին սեռի ոչ լրիվ էլիպտական ֆունկցիան արգումենտ ունեցող, Չեբիշևի առաջին սեռի բազմանդամներ պարունակող սպեկտրալ առնչությունների օգնությամբ: Դիտարկվել է բացարձակ կոշտ վերադիրի մասնավոր դեպքը, և ստացված է առնչություն վերադիրի կոշտ տեղափոխության և վերադիրի կենտրոնում կիրառված առանցքային կենտրոնացված ուժի միջև: The paper is devoted to the consideration of the problem on contact interaction between a finite length stringer and an elastic layer with a rigidly fastened lower boundary under anti-plain deformation. For the stringer, Melan’s model for anti-plain deformation is accepted, which can be described by simplest second order differential equation. Here, as opposed to the traditional formulation of problems on load transmission from stringers to deformable massive solids, the authors adopted a different formulation of the problem, where elastic displacements of the stringer points are given in advance, whereas force factors acting on the stringer and stipulating the given pattern of elastic displacements are determined afterwards. Under such formulation, solving the problem reduces to Fredholm integral equation of the first kind with a symmetrical logarithmic kernel which depends on the difference of the arguments and contains the hyperbolic cotangent. The precise solution of the equation is constructed with the help of spectral relationships, which contain Chebishev polynomials of the first kind with the argument in form of incomplete elliptic function of the first kind. Private case of an absolutely rigid stringer is investigated and dependence is obtained between the rigid displacement of the stringer and axial concentrated force applied at its center.
Keywords: Механика