ՅՈԹՆԱԳՐՅԱՆՔՆԵՐԻ ԱՌԵՂԾՎԱԾԸ

ՎԱՉԱԳԱՆ ՄԻՐԶՈՅԱՆ

Հայ ժողովրդի գրավոր հուշարձաններից մեզ են հասել մի շարք ձեռագրեր, որոնք կոչվում են յոթնագրյանք և սփռված են աշխարհի տարբեր թանգարաններում ու մասնավոր հավաքածուներում: Յոթնագրյանքներին առնչվում են նաև այլ ձեռագրեր, որոնք կոչվում են վեցհազարյակ, գիրք մանուշակի, քերականություն, դուռն քերականության, վարժողական ուսմունք, բանալի քերականության, հմտություն քերականության և այլն: Նշված ձեռագրերում ընդգրկված նյութերը պարունակում են նաև որոշ ախտարքներ և այդ պատճառով հայագիտության բնագավառում ամբողջությամբ բնութագրված են որպես ախտարքներ և դուրս են մնացել հիմնարար հետազոտությունների շրջանակներից: Սակայն մեր կողմից վերծանված որոշ նյութեր գալիս են ապացուցելու, որ այդ ձեռագրերում կան նյութեր, որոնք վերաբերում են հայկական մաթեմատիկայի զարգացման պատմությանը: Մաթեմատիկական օրինաչափությունները իրենց հերթին բերում են լեզվաբանական բանասիրական տերմինների նորովի ընկալմանը և իմաստավորմանը: Վերոհիշյալներից Մեսրոպ Մաշտոցի անվան Մատենադարանում պահվում են հետևյալ ձեռագրերը` --511, 599, 699,701, 1029, 1262, 1711, 1770, 1771, 1978, 1980, 1999, 2528, 2618, 3233, 4066, 4150, 5118,6036,6962, 7040, 7117, 8098, 8528, 8716, 8952, 8973, 9098, 9942, 10200 և այլն:

Հայագիտության մեջ այս ձեռագրերը քիչ ուսումնասիրված նյութերից են և ուսումնասիրողներն էլ (Գ. Զարպհանալյան, Գ. Օզանյան, Ն. Ադոնց, Ա. Աբրահամյան և ուրիշներ), լուրջ ուսումնասիրություն չկատարելով, խիստ բացասական կարծիք են հայտնել դրանց բովանդակության վերաբերյալ[1]: Հեղինակավոր գիտնականների բացասական կարծիքները հետագա սերունդներին վանել են այս ձեռագրերի գիտական լուրջ ուսումնասիրությունից` համարելով անիմաստ և անշնորհակալ աշխատանք: Պ. Պողոսյանի հոդվածն ավելի շուտ ճանաչողական և մասայականացման բնույթի է, քան լուրջ գիտական հետազոտության, և հեղինակն այդ շնորհակալ գործը կատարելով ցանկացել է գիտական աշխարհի տարբեր մասնագետների ուշադրությունը բևեռել այս ձեռագրերի նյութի ուսումնասիրության վրա:

Մեր կողմից ուսումնասիրված վերոհիշյալ ձեռագրերի մեջ նկարագրված են մաթեմատիկական նուրբ օրինաչափություններ, որոնք հայ ժողովրդին հայտնի էին անհիշելի ժամանակներից և այդ օրինաչափություններով էլ կազմված է մաշտոցյան կատարյալ այբուբենը: Հայկական այբուբենի տառերին վերագրված թվային արժեքները Մաշտոցը տվել է` ելնելով հայ իրականությանը հայտնի թվաբանական գործողությունների իմացությունից և գրաբար լեզվի կառուցվածքից, որը հնարավորություն է տալիս տասական համակարգում առանց 0 թվի առկայության կատարել լիարժեք թվաբանական գործողություններ:

Քառանկյուն երկրաչափական պատկերներից կատարյալը քառակուսին է, որը լրիվ բավարարում է հայկական այբուբենի 36 հնչյուններին համապատասխան` տառերը դասավորելով 6(6 չափի քառակուսի պատկերի մեջ:

Սակայն Մաշտոցը գերապատվություն է տվել քառասյուն և ինը տողերի մեջ  մեր այբուբենը ամփոփելուն, որը ուղղանկյուն քառանկյուն է, և, մեր կարծիքով, դա արված է, որպեսզի նույն այբուբենը ծառայի նաև որպես թվաբանական գործողությունների աղյուսակ:

36 թիվը կարելի է ներկայացնել որպես 1-ից 8 բնական թվերի կամ 1-ից 11 կենտ թվերի գումարի տեսքով: 36 թիվը կարելի է ներկայացնել նաև 6(6, 4(9, 3(12, 2(18 արտադրյալի տեսքով, ուղղանկյունների մեջ: 4(9 գրվել է Մաշտոցի կողմից թվային հաշվարկի և համընդհանուր ուսուցման համար[2]:

Ուսումնասիրելով -1711 ձեռագրի թերթ 15բ-ից 17ա-ն` մենք վերծանեցինք գրված տեքստը, որտեղ նկարագրված է թվաբանական գործողությունների կատարման ընթացքը ձեռքի մատների միջոցով: -1711 ձեռագրի 3ա թերթից 17ա թերթերի տեքստերը հայերեն տառ-թվերով գրված թվաբանության դասագիրք է, որտեղ սովորեցնում է թվերի գումարում, հանում և բազմապատկում տասական հաշվարկային համակարգում: Գումարման և հանման գործողությունները 1-ից 9-ը թվերի համար բերվում է սովորական հաշվման գործողության, այբուբենին համապատասխան թվային աղյուսակի թվերի բազմապատկումը բերվում է գործակիցների 1-ից 9-ը թվերի գումարման, 10n աստիճանով բազմապատկման գործողության, որի դեպքում 1-ից 5 թվերի բազմապատկման աղյուսակի իմացությունն անհրաժեշտ և բավարար է, ու արտադրիչների գործակիցների գումարը պետք է լինի մեծ 10-ից ((a+b)>10):

Օրինակ, եթե կամենում էին 3-ին գումարել 4, ապա ձեռքերի մատները բավարարում էին այդ գումարման գործողությունը հաշվման բերել և այդ ձևով հնարավոր էր մինչև 5-ին գումարել 5, որը երկու ձեռքերի մատների թիվն է: Իսկ եթե կամենում էին 7-ին գումարել 8, ապա ձախ ձեռքի վրա հաշվում էին 5 և աջ ձեռքի վրա (ծալելով մատները) հաշվում էին մինչև 7-ը, այսինքն` աջ ձեռքի վրա ծալում էին 2 մատ և լինում էր 5 մատ ձախ ձեռքի վրա բաց և 2 ծալված մատ աջ ձեռքի վրա, որը 7 թիվն էր, իսկ 8-ը հաշվելու համար համարում էին, որ աջ ձեռքի բոլոր մատները (բաց և ծալված) 5 են և շարունակում էին հաշվել այս անգամ ձախ ձեռքի մատները ծալելով մնացածը ձախ ձեռքի մատներից: Ստացվում էր ձախ ձեռքի վրա ծալված մատների թիվը 3: 3-ին գումարած 2 (ծալված) մատների թիվը հավասար է 5-ի: Այսինքն` 7-ին գումարած 8 հավասար է 10-ին գումարած (հաշված) 5 ծալված մատների թիվը` 7+8(10+5::

1-ից 9 թվերի զույգ-զույգ գումարների նվազագույն արժեքը 2-ն է (1+1) և մեծագույնը 18 է, որը հավասար է 9+9:

Այսինքն` նշված եղանակով բերվում է թվերի 1-ից 9 զույգ-զույգ գումարը  հաշվման գործողության, հաշվի առնելով, որ եթե որևէ աջ կամ ձախ ձեռքի վրա առաջանում են ծալված մատներ, ապա տրված գումարելիների գումարը հավասար է 10-ին գումարած ծալված մատների թիվը (երկու ձեռքերի վրա), որ և պետք էր հաշվել: Հակառակ կարգով գործողությունը հանման գործողությունն է, որը կարելի է կատարել ձեռագրում եղած օրինակի նմանությամբ: Օրինակ` եթե կամենում ենք 16-ից  (աջ և ձախ ձեռքերի ծալված մատների թիվը պետք է լինի հավասար 6-ի, ընդ որում մեկ ձեռքի վրա ծալված մատների թիվը չպետք է գերազանցի 4-ը) հանել 9-ը, ապա հաշվում ենք ծալված մատների թիվը 6 և շարունակում ենք ծալել մատները մինչև դրանց (ծալված) մատների թիվը հավասարվի 9-ի (հանելիի), այդ դեպքում բաց մատների թիվը կմնա 1, ուրեմն տարբերությունը կլինի 1-ին գումարած (նախօրոք ծալված) վեցը, որը հավասար է 7-ի, այսինքն` 16 - 9 ( 7: Այսպիսով, գումարման և հանման գործողությունը 1-ից 9 թվերի համար բերվեց մատների (բաց կամ ծալված) հաշվման     գործողության:

Մատների միջոցով գումարման գործողությունը հաշվման բերելը իր մեջ պարունակում է նաև ապացույց այն բանի, որ գումարելիների տեղափոխությունից գումարը չի փոխվում:

Համաձայն -1711 ձեռագրի վերծանված նյութի` հայերը 1-ից 9 թվերի լիարժեք բազմապատկում կատարելու համար տիրապետում էին 1-ից 5 թվերի բազմապատկման աղյուսակին, իսկ 5-ից բարձր թվերը բազմապատկելու համար սկզբում գումարում էին արտադրիչները (a+b,  որտեղ 5(a(9, 5(b(9 ( և այդ գումարից հանում էին 10-ը թիվը, մնացորդը ՝ ծալված մատների թիվը, (a+b-10(-ը բազմապատկում էին 10-ով, այնուհետև աջ ու ձախ ձեռքերի վրա  բաց մատների թվերը բազմապատկում էին իրարով և գումարում փակ մատների թվով և 10-ով բազմապատկման արդյունքում առաջացած արտադրյալին: 10-ը թիվը մաշտոցյան այբուբենի ուղղաձիգ շարքերի համապատասխան հորիզոնական զույգ հարևան թվերի հարաբերությունն է (աղ. 1): Այսինքն` իմանալով 10-ի բազմապատկման աղյուսակը՝ մաշտոցյան այբուբենը քառասյուն դասական տեսքով, և 1-ից 5 թվերի բազմապատկման աղյուսակը, և վերը նշված ձեռքերի մատների միջոցով գումարման օրինաչափությունները, կարողանում էին հաշվել ձեռքի մատների միջոցով մինչև 81 միլիոն թիվը, որը հավասար էր 9000(9000-ի: Նշենք նաև, որ մեծ թվեր գրելու համար մտցրել էին նաև բյուր  հասկացությունը, որը տասը հազարն է: Յուրաքանչյուր տառ-թվի վերևում դնելով կեռիկ շեշտը^ տվյալ տառ–թվի աղյուսակային արժեքը բազմապատկվում էր 10000-ով[3]:

Մ. Մաշտոցի անվան ձեռագրատանը գտնվում է -1770 ձեռագիրը, որտեղ պահպանված է Անանիա Շիրակացու ‹‹Վասն որպիսության կենաց իւրոց›› կոչված ինքնակենսագրությունը, ուր խոսելով վեցհազարյակների արվեստի (գիտության) վերաբերյալ, գրում է. ‹‹Գանձ ծածկեալ է ի յերկիրս Հայոց և ակն թագուցեալ ի տանն Թորքոմա, զի մայր է ամենայն իմաստութեան. այս է և թւոց աղբիւր ամենայն արհեստից հանդերձ ամենայն բաժանմամբ››[4] (ընդգծումը մերն է – Վ. Մ.):

Բերված մեջբերումից Շիրակացին միարժեք, հստակ, պարզ և հասկանալի նշում է, որ վեցհազարյակների արվեստը սփռված էր հայոց նահանգներում, իսկ գիտելիքի սկիզբը (ակն) թաքնված է Թորգոմա տանը, այսինքն` Հայաստանից է տարածվել վեցհազարյակի արվեստը:

Աղ. 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ա

1

Ժ

10

Ճ

100

Ռ

1000

1111

ԱՌՃԺԱ

Բ

2

Ի

20

Մ

200

Ս

2000

2222

ԲՌՄԻԲ

Գ

3

Լ

30

Յ

300

Վ

3000

3333

ԳՌՅԼԳ

Դ

4

Խ

40

Ն

400

Տ

4000

4444

ԴՌՆԽԴ

Ե

5

Ծ

50

Շ

500

Ր

5000

5555

ԵՌՇԾԵ

Զ

6

Կ

60

Ո

600

Ց

6000

6666

ԶՌՈԿԶ

Է

7

Հ

70

Չ

700

Ու

7000

7777

ԷՌՉՀԷ

Ը

8

Ձ

80

Պ

800

Փ

8000

8888

ԸՌՊՋԸ

Թ

9

Ղ

90

Ջ

900

Ք

9000

9999

ԹՌՋՂԹ

45

450

4500

45000

49995

Դ’ՔՋՂԵ

ԽԵ

ՆԾ

ՏՇ

Դ‘Ր

Դ’ՔՋՂԵ

Աղ. 2

777.143=111111=ՃԺԱՌՃԺԱ

777.286=222222=ՄԻԲՌՄԻԲ

777.429=333333=ՅԼԳՌՅԼԳ

777.572=444444=ՆԽԴՌՆԽԴ

777.715=555555=ՇԾԵՌՇԾԵ

777. 858=666666=ՈԿԶՌՈԿԶ

777. 1001=777777=ՉՀԷՌՉՀԷ

777.1144=888888=ՊՋԸՌՊՋԸ

777. 1287=999999=ՋՂԹՌՋՂԹ[5]

Որ հայերը կատարելապես են տիրապետել վեցհազարյակի արվեստին, երևում է մաշտոցյան այբուբենի կատարելությունից (աղ. 1) և յոթնագրյանքներից (Աղ. 2)[6]:

Մեր կարծիքով մաշտոցյան այբուբենը և թվաբանական աղյուսակը մեր ժողովրդին տվեցին մեծ հնարավորություններ համաշխարհային առևտրի բնագավառում հասնելու բարձր դիրքերի: Հասնելով նշված դիրքին` մեր ազնիվ և հավատացյալ վաճառականները, գիտակցելով և հասկանալով մեր մշակույթի օգտակար դերն ու նշանակությունը, մեծ ֆինանսներ էին տրամադրում հայ մշակույթի ու գրչության զարգացման համար աշխարհի տարբեր երկրներում: Մեր կարծիքով, դա է հիմնական պատճառը, որ առանց պետականության ծաղկեց ու զարգացավ հայ գրչությունը, ճարտարապետությունը ու մշակույթը և իր նպաստը բերեց հայապահպանության բնագավառում:

-1711 ձեռագրի 14բ և 15ա թերթերում բերված է վեցհազարյակի աղյուսակ, որն իրենից ներկայացնում է բազմապատկման աղյուսակ հայկական տառ-թվերին համապատասխան արժեքների համար: Հայոց այբուբենի տառ-թվերը դասավորված են փոխուղղահայաց դիրքով մեկ տող հորիզոնական և մեկ շարք ուղղաձիգ ուղղություններով:

Հայկական այբուբենի տառ-թվերը մեկ շարքով գրելու դեպքում ստացվում է լոգարիթմական սանդղակ:

Այժմ ներկայացնենք մեր կողմից ուսումնասիրված ձեռագրերում օգտագործված գրաբարյան թվաբանական տերմինների ժամանակակից համարժեքները:

1. Գիր

թիվ

2. տալ զգիր գրոյ

բազմապատկել թիվ թվով,

3. քաջ բարդէ

եռակի գումարել թիվը (կամ բազմապատկել 4-ով)

4. շարագրել, շարադրել, յիրար դնել

գումարել

5. ասա  բ. գ

բազմապատկի 2-ը 3-ով

6. վանգ

թիվ, պարզ թիվ, միավոր

7. ի խոնարհ մնա

մնացորդ

8. •ը• հետ •պ•

8 անգամ(բազմապատկած) 800

Ասվածը առկախ չթողնելու համար բերենք -1711 ձեռագրի մեջ թերթ 15բ-ից թերթ 17ա-ի տեքստի և դրան զուգահեռ մեր կողմից համապատասխան վերծանված տեքստը, որտեղ նկարագրված են 5-ից մեծ մինչև 9-ը թվերի գումարման և բազմապատկման օրինաչափությունները:

Հայկական այբուբենի տառերին համապատասխան կամայական p և q թվերի արտադրյալը գտնելու համար մեր նախնիները գործողություն կատարել են մաթեմատիկական հետևյալ օրինաչափությամբ` p(q=(a+b-10)(10m +(10-a)(10-b)(10n, որտեղ 5<a(9, 5<b(9, 0( n<m և a, b, m, n-ը ամբողջ թվեր են: Մաշտոցյան հայկական այբուբենի տառերին համապատասխան կամայական երկու թվերը միշտ կարելի է ներկայացնել p= a(10x և q=b(10y տեսքով, որտեղ a,b,x,y-ը ամբողջ դրական թվեր են և 0(x(3, 0(y(3, իսկ a-ն և b-ն ստանում են 1-ից 9 արժեքը:

վեց հետ  .Զ. կամիս գիտենալ

–  վեց անգամ վեց ցանկանում ես իմանալ

Բ. Զ. շարադրէ լինի .ԺԲ.

– երկու վեց գումարի իրար կլինի տասներկու

զերկուսն որ ի .Ժ. ի վեր ելաւ զմէկն. .Ժ. արա լինի. Ի.

– տասից ավելի երկուսը բազմապատկիր մեկ տասնյակով, որ լինի քսան

և ի մէկ. Զ. մինչև ի .Ժ. Դ. է և .Դ. ի մեկ այլ .Զ. է-ն

– մեկ վեցից մինչև տասը հավասար է չորս և չորս է մեկ այլ վեցից

առ զմէկ դեհի. Դ. և զմեկ այլ դեհի.Դ.

– վերցրու մեկ կողմի չորսը և մեկ այլ կողմի չորսը

բազմապատկէ. և ասա. Դ. Դ. լինի.ԺԶ.

– չորս բազմապակած չորսով կլինի տասնվեց

դիր .ԺԶ. ի վերայ. Ի. լինի .ԼԶ. անսղալ:

– տասն վեցը գումարած քսանին կլինի երեսունվեց ճշգրիտ

զxզ=?

զ+զ=ժբ, բxժ=ի

ժ-զ=դ, ժ-զ=դ, դxդ=ժզ

ի+ժզ=լզ=զxզ[7]

6x6=?

6+6=12, 2x10=20

10-6=4, 10-6=4,4x4=16

20+16=36=6x6

-Թէ. Զ. հետ .Է. կամիս գիտենալ

– եթե ցանկանում ես իմանալ վեց անգամ 7

-առ զ. Է. և .Զ. և շարադրէ լինի. ԺԳ.

– վերցրու յոթ և վեց և գումարիր կլինի 13

-զերէքն ի. Ժ. ի վեր .Ա. Ժ. արայ լինի.Լ.

– տասից ավելացած երեքը  բազմապատկիր մեկ տասնյակով կլինի երեսուն

-և .Է. մինչև ի. Ժ. Գ. է. և ի. Զ. մինչև ի Ժ. Դ.

– յոթից մինչև տասը երեք է և վեցից մինչև տասը չորս

-առ զ. Գ. և բազմապատկէ զ. Դ. և ասա. Գ.Դ. լինի. ԺԲ.

– վերցրու երեք և բազմապատկիր չորսով և ասա 3x4 կլինի 12

-դիր ի վերա երեսնին լինի Խ. Բ., որէ Զ.  Է.:

- գումարիր երեսունին կլինի 42 որն է 6x7-ը

զxէ=?

զ+է=ժգ, գxժ=լ

ժ-զ=դ, ժ-է=գ, գxդ=ժբ

լ+ժբ=խբ=զxէ

6x7=?

6+7=13, 3x10=30

10-6=4, 10-7=3, 3x4=12

30+12=42=6x7

Իսկ. Զ. ութն նոյնպես առ. Ա Զ. և

Ա. Ը. շարադրէ ընդ միմեանս լինի .ԺԴ.

– իսկ վեց ութը նույնպես վերցրու մեկ վեց և մեկ ութ գումարիր իրար, որ դառնա տասնչորս

զ. Դ. ի Ժ. ինն վերև զ.Ա. Ժ.-ն արա, լինի. Խ.

– տասից բարձր չորսը բազմապատկիր մեկ տասնյակով կդառնա քառասուն

Յ. Ը. են. ի. Ժ. Բ. է,

և ի. Զ. էն ի Ժ. Դ. է.

– ութից մինչև տասը երկու է

– և վեցից մինչև տասը չորս է

առ զ. Բ. ն. և բազմապատկէ զ Դ. ն. ասա Բ. Դ. լինի ութ

– վերցրու երկուս և բազմապատկիր չորսով որ լինի ութ

դիր ի վր քառասնին. լինի ԽԸ. որէ վեց հետ ութ :

– գոմարի (ստացված ութը) քառասունին կլինի քառասուն ութ, որը հենց վեց անգամ ութն է

զxը=?

զ+ը=ժդ, դxժ=խ

ժ-զ=դ, ժ-ը=բ, բxդ=ը

խ+ը=խը=զxը

6x8=?

6+8=14, 4x10=40,

10-6=4, 10-8=2, 2x4=8

40+8=48=6x8

Ի սկ Զ. հետ ինն. նոյնպէս արա իբրև զայլսդ

– իսկ վեց անգամ ինը նույնպես արա ինչպես մյուսները,

դիր զվեցն. և զ.Թ.  յիրաց վերայ Թ և Զ-ն լինի ԺԵ.

– գումարի վեցը և իննը միմիանց որ լինի տասնհինգ

Զհինգն զ.Ա.ն Ժ. արա, լինի Ծ.

– հինգը բազմապատկիր մեկ տասնյակով, որ լինի հիսուն

ի յ.Թ.էն ի Ժ. Ա. կա, ի Զ.էն Դ.

– Իննից մինչև տասը մեկ է և վեցից մինչև տասը չորս

Առ զմեկն և ասա. Դ. Ա. որ լինի. Դ. դի ի վերա յիսնին լինի. ԾԴ. որ վեց հետ ինն անվրէպ

– վերցրու մեկը և բազմապատկիր չորսով, որը կլինի չորս գումարիր հիսունին կդառնա հիսուն չորս, որը վեց անգամ ինն է անվրեպ (ճշգրիտ)

զxթ=?

զ+թ=ժե, եxժ=ծ

ժ-թ=ա, ժ-զ=դ, աxդ=դ

ծ+դ=ծդ=զxթ

6x9=?

6+9=15, 5x10=50

10-9=1, 10-6=4, 1x4=4

50+4=54=6x9

Է. հետ. Է.: Եւ զ. Ը.-ն հետ. Ը. ն: Եւ զ.Թ. հետ ինն նոյնպէս արայ:

– յոթ անգամ յոթ և ութ անգամ ութ և ինն անգամ ինն նույն ձևով կատարի (հաշվի)

Առ Բ. ինն. դիր զմինն ի  վերայ լինի ԺԸ.  զ. Ը.  ն զ.Ա. Ժ. արա լինի. Ձ.

– վերցրու երկու ինն գումարիր իրար կդառնա տասնութ, ութը բազմապատկիր մեկ տասնյակով կլինի ութսուն

Յըննէն ի. Ժ. Ա. կա. և Ա. ի մէկ այլ ըննէն և առ զմէկ դեհի մեկն. և  ասէ մեկ Ա լինի Ա.

– իննից մինչև տասը մեկ է և մեկ մեկ այլ իննից, և վերցրու մեկ կողմի մեկը և  բազմապատկիր մեկով, կդառնա մեկ

Զի մեկ Ա. ն. Ա. թիւ է. դիր ի վերայ  ութսընին. լինի ութսուն և Ա. անպատճառ և ան յաւելուած

– քանի որ մեկ մեկը թիվ է  գումարիր ութսունին կդառնա ութսուն և մեկ և մեկն անպատճառ գումարած

թxթ=?

թ+թ=ժը, ըxժ=ձ ժ-թ=ա, ժ-թ=ա, աxա=ա

ձ+ա=ձա=թxթ

9x9=?

9+9=18, 8x10=80

10-9=1, 10-9=1, 1x1=1

80+1=81=9x9

Իսկ յորժամ կամենաս միակաւն զ.Ժ. եակսն գտանել այսպէս արա. որպէս զմիակսն հիզան:

–իսկ այն ժամանակ, երբ ցանկանաս միավորների և տասնավորների արտադրյալը գտնել այսպես գործիր (արա) որպես միավոր

Կամիս գիտել թէ Թ. հետ ութսունն քանի է:

– ցանկանում ես իմանալ թե ինն անգամ ութսունի որքան է

Մեկ ինն. և Ա. Ը.-ն յիրաց վերայ դիր լինի ԺԷ.

– մեկ իննը և մեկ ութը գումարի կդառնա տասնյոթ

զի. Է. որի Ժ. ի վեր անցաւ. զմեկն Ճ. բռնէ որի լինի. Է. Ճ.

– յոթը, որ տասից ավելացել է մեկ հարյուրավորով բազմապատկիր (գործակից), որ լինի յոթհարյուր

եւ յընէնի Ժ. Ա.է. և յութէն ի. Ժ. Բ. է.

– և իննից մինչև տասը մեկ է և ութից մինչև տասը երկու

առ զ.Բ. և ասա Բ. Ա, որ լինի Բ. և զԲ. զ.Ա. Ժ. բռնէ լինի. Ի.

– վերցրու երկուսը և բազմապատկիր մեկով, որ լինի երկու և երկուսը մեկ տասնյակ գործակից ունենա և կդառնա քսան

դիր.  ի վերա զ. Ի. ի վերա Չ.-ին լինի  ՉԻ. որէ Թ. հետ. Ձ.

– ավելացրու քսանը յոթհարյուրին և այն կլինի յոթհարյուր քսան որը և ինն անգամ ութսունն է

թxձ=?

թ+ը=ժէ, է xճ=չ

ժ-թ=ա, ժ-ը=բ, բxա=բ, բxժ=ի

չ+ի=չի=թxձ

9(80=?

9+8=17, 7x100=700

10-9=1, 10-8=2, 2x1=2, 2x10=20

700+20=720=9x80

Եւ յորժամ կամիցիս միակաւն զ.Ճ. գիտել այսինքն կամիս գիտել. թէ Ը. հետ. Ը. Ճ. ն. քանի է,

– և այն ժամանակ, երբ կամենաս իմանալ միավորի և հարյուրավորի արտադրյալը, այսինքն` ցանկանում ես իմանալ, թե 8 անգամ 800-ն որքան է

երկու. Ը. յիրաց վերայ դիր լինի. ԺԶ. զ. Զ.-ն զ.Ա. Ռ. բռնէ, որի լինի. Ց.

– երկու 8-ը իրար գումարած  կլինի 16 և վեցը 1000 գործակից կունենա, որ լինի 6000:

Յութեն ի. Ժ. Բ. է. և Բ.-ը մէկ այլ Ը. էն. առ. զ. Ա. դեհի. Բ. և զմեկ այլ դեհի Բ.-սն բազմապատկէ և ասա Բ.Բ. որ լինի. չորս

– ութից մինչև 10-ը 2 է և 2 մեկ այլ 8-ից, վերցրու 1-ին կողմի 2-ը և մեկ այլ կողմի 2-ը բազմապատկիր կլինի չորս:

զայս Դ.սս. զԱ. Ճ. արա որ լինի. Ն. դիր ի վերա Ց.-ին, որ լինի. ՑՆ. որ է. Ը. հետ. Պ.:

- Այս չորսը բազմապատկիր 100-ով, որ լինի 400 և գումարիր 6000-ին կլինի 6400, որը և 8 անգամ 800-ն է

ըxպ=?

ը+ը=ժզ, զxռ=ց

ժ-ը=բ, ժ-ը=բ, բxբ=դ, դxճ=ն

ց+ն=ցն=ըxպ

8x800=?

8+8=16, 6x1000=6000

10-8=2, 10-8=2, 2x2=4, 4x100=400

6000+400=6400=8x800

Եւ թէ կամիս որ զ.Ը. հետ. Ը.Ռ.-ն գիտենաս. նա նոյնպէս արա՝ Բ.Ը. յիրար դիր լինի ԺԶ. զ.Զ. որ ի Ժ.էն ի վեր ելաւ. զ.Ա. բիւր բռնէ, որի լինի Զ. բիւր:

– եթե ցանկանում ես իմանալ 8 անգամ 8000-ը, ապա նույնպես արա, երկու 8-ը գումարիր իրար, որ լինի 16 և 6-ը, որ 10-ից ավելացել է, 10000 գործակից կունենա, որ 60000 կդառնա

Եւ յայն, որ ի ներքև Ժ.ինն է զ.ԱՌ. բռնէ Բ.Բ.-ն, Տ. դիր ի վերա Զ. բիւրին, որ լինի Զ. բիւրն և Տ որ է Ը.  հետ Փ.:

– և այն, որ 10-ից ներքև է, 1000 գործակից կստանա 2x2 կլինի 4000, որը գումարած 60000-ին, որը կլինի 60000 և 4000, որը 8 անգամ 8000-ն է

ը(փ=?

ը+ը=ժզ, զ(ա(=զ(

ժ-ը=բ, ժ-ը=բ, բ(բ=դ, դ(ռ=տ

զ(+տ=զ(տ=ը(փ

8(8000=?

8+8=16, 6(10000=60000

10-8=2, 10-8=2, 2(2=4, 4(1000=4000

60000+4000=64000=8(8000

Եւ երբ զ.Ձ. հետ Ձ.-ն կամիս գիտել .Բ Ը.-ն երբ յիրար դնես, որ ԺԶ. լինի զ.Զ. ն որ ի վերայ քան զԺ.-ն զ.ԱՌ. բռնէ.

– երբ ցանկանում ես իմանալ 80 անգամ 80, ապա երկու 8-ը գումարիր իրար, ապա կլինի 16, վեցը, որ 10-ից ավելացավ, 1000 գործակից կստանա

և զներքև տասինն բազմապատկէ իբրև զայլն և զ.Ա.Ճ. բռնէ, որ լինի. Ն. դիր ի վերա Ց.-ին, որ լինի Ց. և Ն.:

– տասից ներքևինը բազմապատկիր ինչպես մյուսները, որը 100 գործակից կստանա և կլինի 400, որը գումարի 6000-ին կլինի 6400:

ձ(ձ=?

ը+ը=ժզ, զ (ռ=ց

ժ-ը=բ, ժ-ը=բ, բ(բ=դ, դ(ճ=ն

ց+ն=ցն=ձ(ձ

80(80=?

8+8=16

6(1000=6000

10-8=2, 10-8=2, 2(2=4, 4(100=400

6000+400=6400=80(80

Երբ զ.ՁԸ.ն Ճ. առնես, որքան զ. Ժ. ի վեր ելնէ բիւր բռնէ՝ և զներքևն Ռ.:

– երբ 80x8-ը 100-ով բազմապատկես, որքան 10-ից ավելանա, 10000 գործակից կստանա և 10-ից ներքևն 1000 գործակից

Երբ զ. Ձ. հետ. Ձ. Ռ[8]. գիտենաս դարձեալ. Բ. Ը. յիրար դիր լինի ԺԶ.  զ. Զ. որ ի Ժ. ի վեր. ելաւ. Ա. Ժ. բիւր բռնէ.

– երբ 80 անգամ 80000-ի արտադրյալը ցանկանաս իմանալ, դարձյալ երկու 8-ը գումարիր իրար, և կլինի 16 և 6-ը, որ 10-ից ավելացավ, 10x10000 գործակից կստանա

և զներքև Ժ.-ին բազմապատկէ և զ.Ա.Ա. բիւր բռնէ՝ նա լինի. ԿԴ. բիւր Ձ. Փ.

– 10-ի ներքև թվերը բազմապատկիր (10-8=2, 10-8=2) 2x2=4, որը մեկ բյուր  (10000) գործակից կունենա և կլինի

640000 = 80(8000

ձ(փ=?

ը+ը=ժզ, զ(ժա(=կ(

ժ-ը=բ, ժ-ը=բ, բ(բ=դ, դ(ա(=դ(

կ(+դ(=(կդ)(=ձ(փ

80(8000=?

8+8=16

6(100000=600000

10-8=2, 10-8=2, 2(2=4, 4(10000=40000

600000+40000=640000

=80(8000

Եւ երբ զՃ.-ն և զՌ.-ն յիրար դնես ի Ժ-էն ի վեր ելածն զ.Ա.ն Ճ[9]. բիւր բռնէ և զներքև Ժ.ինն բազմապատկէ մէկ դիհովն զԱ. այլ դեհն և զԱ. Ժ. բիւր բռնէ. այսպես արա զոր թիւ կամենաս գիտել:

Երբ 100-ը և 1000-ը իրար գումարես, այսինքն 1(100-ին գումարես 10(100, ապա կստանաս (1+10)(100=11(100, և 10-ից ավելացած 1-ը 10-ը բյուր գործակից կստանա և կլինի 100000:

Եթէ զ.Ը.Ռ. հետ. Փ.ն կամիս գիտենալ. նա դու Բ. Ը. շարադրէ Ը. և Ը. լինի ԺԶ. զվեցն որ ի Ժ. ի վեր ել զ.Ա.Ռ. բիւր բռնէ, որ լինի Զ. Ռ. բիւր և յ.Ը.-են մինչև ի. Ժ. Բ. կա. առ զմէկ դեհի. Բ.-սն և զմին այլն բազմապատկէ և ասա. Բ. հետ. Բ.-ս լինի. Դ. զայս Դ.-ս.  զամեն մէկ Ճ. բիւր բռնէ և դիր ի վերա Ց^. որ լինի վեց. Ռ. բիւր և Ն. բիւր, որ է Փ. հետ. Փ.

Եթե 8x1000 անգամ 8000-ը ցանկանում ես իմանալ, նախ 8+8=16, և տասից ավել 6-ը 1000x10000 գործակից կստանա 6x1000x10000 և 8-ից մինչև 10-ը 2 է, վերցրու մեկ կողմի 2-ը և մեկ այլ կողմի 2-ը և բազմապատկիր, որ լինի 4 և այս 4-ը 100x10000 գործակից կստանա, որը գումարելով 6x1000x10000-ին կլինի 64.000.000, որը 8000x8000-ն է

փxփ=?

ը+ը=ժզ, զxռ(=ց(

ժ-ը=բ, ժ-ը=բ, բxբ=դ, դxճ(=ն(

ց(+ն(=(ցն)(=փxփ

8000x8000=?

8+8=16

6x10.000.000=60000000

10-8=2, 10-8=2, 2x2=4,

4x1000000=4000000

60000000+4000000=64000000=8000x8000

(Գ անգիւն)      ա. գ. ազ. ժ. ժե. իա. ե. ը. լզ. խե. ծ. կզ.

3 անկյուն      ա, գ, ազ, ժ, ժե, իա, [իը], լզ, խե, [ծե], կզ

1,  3,  6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66

(Դ անգիւն)      ա. դ. թ. ժզ. խե. լզ. խթ. կդ. ձա. ճ. ճիա. ճխդ

4 անկյուն      ա, դ, թ, ժզ, [իե], լզ, խթ, կդ, ձա, ճ, ճիա, ճխդ

1, 4,  9,  16,  [25], 36, 49, 64,  81, 100, 121, 144

(Ե անգիւն)      ա. ե. ժբ. իբ. լե. ծա. հ. ղբ. ճժէ.

5 անկյուն      ա, ե, ժբ, իբ, լե, ծա, հ, ղբ, [ճժե]

1,  5, 12,  22, 35, 51, 70, 92, [115]

(Զ անգիւն)      ա. զ. ժէ. իը. խե. կզ. ղա. ճիա. ճծգ. մլե. մհզ.

6 անկյուն      ա, զ, [ժե], իը, խե, կզ, ղա, ճիա, ճծգ, մլե, մհզ

1,  6, [15], 28,  45,  66,   91,  121,  153,  235, 276

(Է անգիւն) ա. է. ժը. լդ. ծե. ձա. ճժբ. ճխը.  ճձթ. մլե. մձզ.

7 անկյուն

1,  7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189,235,286

(Ը անգիւն) ա. ը. ժզ. իդ. լբ. խ. խը. ծզ. կդ. հբ. ձ. ձե. ղզ. ճդ.

8 անկյուն      ա, ը, ժզ, իդ, լբ, խ, խը, ծզ, կդ, հբ, ձ,  [ձը] ղզ, ճդ

1,  8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,     [88],  96, 104[10]

(կոճատն) գ. ե. է. թ. ժա. ժգ ժե. ժէ. ժթ. իա. իգ. իե. իէ.

կոճատն      3,  5, 7, 9, 11,  13,  15, 17, 19,  21,   23, 25,  27[11]

(դարն) բ. դ. զ. ը. ժ. ժբ. ժդ. ժզ. ժը. ի. իբ. իդ. իզ.

դարն      2,  4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26[12]

Ինչպես տեսնում ենք, ներկայացված ձեռագրերի տեքստերը ախտարք չեն:

-1711 ձեռագրի 6ա թերթում 5-ի բազմապատկման աղյուսակում 5(5=25-ից հետո դրված է անջատման գիծ, որով տեքստի կազմողները ցանկացել են շեշտել, որ 1-ից 5 թվերի բազմապատկման աղյուսակի իմացությունը անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի, իմանալով հայոց այբուբենը, թվային տեսքով կարողանան կատարել բազմապատկում մատների միջոցով 5-ից մեծ թվերի համար: Նման անջատման նշան չկա մյուս արտադրիչների դեպքում: 5-ի բազմապատկման աղյուսակի վերջում սահմանազատող եզակի նշանը` (-ը, մեր կարծիքով, դրված է, որպեսզի ևս մեկ անգամ ընդգծի, որ մեկից հինգ թվերի բազմապատկման աղյուսակի իմացությունն անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի մատների միջոցով կարողանան հաշվել մնացած թվերի բազմապատկման արդյունքները` օգտվելով մաշտոցյան այբուբենի թվաբանական աղյուսակից:

Այժմ բերենք ձեռագիր -1711-ի 12բ թերթում գրված հետևյալ տեքստը և համապատասխան վերծանությունը:

Զերիս վանգն ի մի կցէ այսպես .Ա. Բ. Գ. որ լինի Զ. և բարդէ և յարաբարդէ և քաջ բարդէ, այսինքն Դ. անգամ բազմայպատկէ, որ ի չորից բաղկանա և գնայ երբեմն ԺԲ., ԺԲ. կամ ԹԹ. կամ ԷԷ. կամ ԶԶ. որպէս կար էս փոխէ զգնալն և որ մնայ թէ Ե.-ն մնայ էջ.-ն խօսի թե Զ.-ն կամ Ը. կամ Թ. մնայ, որ մնայ խաւսի այն գիրն նայև լինի թէ շատ լինի համարքն կամ բիւրք լինի նա գնան ււ. կամ ՎՎ. կամ ՑՑ. թէ Ա.Ռ. մնայ Ռ. խաւսի, թէ մնայ Ս. կամ Վ. կամ Տ. կամ Ր., որ մնայ այնու խօսիս, թէ Ռ. մնայ հարցնու զՃ. և զԺ. և զԱ. նոյնպէս թէ մնայ Ս. սովօ հարց զՄ. զԻ. զԲ. զի. ծնօղք են միմեանց և խառնին Բ բնութեանբ ի միմէանս և...:

Երեք միավորներ, թվեր, պարզ թվեր միմյանց գումարիր. այսպես Ա+Բ+Գ (1+2+3), որ լինի Զ (վեց) և գումարեն 6 և նորից (կրկին գումարեն) 6 և եռակի գումարեն 6, այսինքն 4 անգամ բազմապատկիր, որ 4-ից կազմված (բաղկացած) լինի և գնա (մասնատել, տրոհել, բաժանել) երբեմն 12-ի կամ 9-ի կամ 7-ի, կամ 6-ի, որպեսզի կարողանաս փոփոխել բաժանումն (տրոհում, զգնալն մասնատման արագությունը) և երբ մնա, (Ե(-ն (5-ը) խոսի, թե Զ-ն (6-ը), կամ Ը (8) կամ Թ (9-ը) մնա, որը մնա, այն գիրն (թիվը) էլ խոսի, նաև թե շատ լինի հաշվարկն կամ բյուրք (10000) լինի, ապա նա տրոհում, մասնատում, բաժանում (գնան) / (7000)-ի կամ Վ (3000)-ի կամ Ց (6000)-ի թե մեկ հազար (Ա Ռ) մնա Ռ խոսի, թե մնա Ս (2000) կամ Վ (3000) կամ Տ (4000) կամ Ր (5000), որը մնա նա էլ խոսի (գործողություն կատարվի նրանով), թե Ռ (1000) մնա, հարցնի .Ճ. (100)-ին և .Ժ. (10)-ին և .Ա. (1-ին, նույնպես թե մնա .Ս. (2000) սա հարցնի .Մ. (200)-ին .Ի. (20)-ին .Բ. (2)-ին քանզի ծնող են միմյանց և երկու բնությամբ խառնված են միմյանց և…:

‹‹Բարդե›› նշանակում է թվին ավելացնել (գումարել) նույն թիվը, կոնկրետ դեպքում 6+6(12, ‹‹յարաբարդե›› նշանակում է 12-ին նորից ավելացնել, գումարել ելակետային թիվը, տվյալ դեպքում 6 և կլինի 12+6(18, ‹‹քաջ բարդէ›› նշանակում է 3-րդ անգամ գումարել, ավելացնել ելակետային թիվը 6-ը ստացված գումարին, այսինքն` 18-ին, որ լինի 18+6(24, որը կազմված լինի 4 անգամ 6-ից, այսինքն` 24(4(6 և հանդիսանա 6-ի քառապատիկ:

-1711 ձեռագրի 3բ լրիվ և 4ա թերթի առաջին երկու սյունակները վերաբերվում են գումարման գործողությանը, 4ա թերթի 3-րդ սյունակից սկսվում է հանման գործողությունը մինչև 5բ թերթի 2-րդ սյան ‹‹բազմապատ›› բաժինը: 5բ թերթի ‹‹բազմապատ››-ից սկսած մինչև 9բ թերթը բազմապատկման գործողություն է ըստ հայկական այբուբենի տառ թվերի արժեքների մինչև վեցհազար թիվը ներառյալ` որպես հաստատուն արտադրիչ: Գիրքը կոչվում է նաև վեցհազարյակ և դրա պատճառը, ըստ մեզ, այն է, որ բազմապատկման գործողությունը ավարտվում է վեցհազար թվի բազմապատկման աղյուսակով:

10ա թերթի առաջին սյունակը սկսվում է մի թվաբանական պրոգրեսիայով, որի առաջին անդամը 96-ն է և տարբերությունը նույնպես 96 է, և բերված են այդ պրոգրեսիայի 15 անդամները: Այնուհետև նույն սյունակի շարունակությունը ‹‹երթ ԺԹ ԺԹ››-ից սկսվում է թվաբանական մի այլ պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը 19-ն է, որը հավասար է պրոգրեսիայի տարբերության 19-ին և շարունակությունը ներկայացված է նույն թերթի երկրորդ սյունակի սկզբից մինչև 28-րդ անդամը, որը հավասար է 532-ի, որը հայոց փոքր տոմարի թիվն է, այսինքն` հինգ հարյուր երեսուներկու տարվա թիվը կապված է լուսնի 19-ամյա ցիկլի հետ: Այնուհետև նույն սյունակի շարունակությունը, որը սկսվում է ,,դուստր զեկի”-ից, դա իրենից ներկայացնում է եռանկյուն թվերի շարք, սակայն առաջին անդամը տեքստում գրված է 3, որը վրիպակ է և այն պետք է լինի 1: Նույն սյունակի շարունակությունը գրիչը չի արտագրել, հավանաբար, մաշված, ջնջված լինելու պատճառով, սակայն հաջորդ 3-րդ սյունակի բերված թվերի օրինաչափությունից պարզ երևում է, որ դրանք նույնպես եռանկյուն թվերի շարք են` սկսված 14-րդ անդամից 45-րդ անդամը ներառյալ: Ուրեմն, եռանկյուն թվերի ամբողջական շարքում, սկսած ‹‹դուստր զեկի››-ից, բացակայում են 10, 11, 12, 13-րդ անդամները, որպեսզի շարքը լինի անընդհատ և ամբողջական: Աղյուսակում բացակա թվերը լրացրել և ներկայացրել ենք շեղ գրով: 10ա թերթի 4-րդ սյունակում ներկայացված աջակողմյան թվերը երկրաչափական պրոգրեսիա են 1-ից մինչև 25 ներառյալ անդամներ են, որի 1-ին անդամը 1-ն է, իսկ երկրաչափական պրոգրեսիայի հաստատունը (քանորդը) 2 և ամբողջ շարքում ընդամենը 2 վրիպակ կա, մեկը 16-րդ անդամում, որտեղ 32768-ի փոխարեն գրված է 32368, իսկ մյուսը` 21-րդ անդամի մեջ 1048576-ի փոխարեն գրված է 1038576: Նշված էջի 4-րդ սյունակի վերևում գրված է ‹‹աղհացից›› արտահայտությունը, որը, մեր կարծիքով, նշանակում է երկրաչափական պրոգրեսիա: Նշենք նաև, որ նույն սյունակի վերջում գրված է ‹‹երթ, ԻԸ, ԻԸ›› և թողնված է դատարկ տեղ, որը նշանակում է, որ այդ տեղում պետք է լրացնել թվաբանական պրոգրեսիա, որի 1-ին անդամը պետք է լինի 28-ը և տարբերությունը նույնպես 28: Նշված թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 19 անդամները ներկայացված են 10բ թերթի 1-ին սյունակի սկզբում, որտեղ նույնպես կա  2 վրիպակ` 15-րդ և 16-րդ անդամները գրված են 320 և 348 համապատասխանաբար 420 և 448-ի փոխարեն, այսինքն` Ն(400)-ի փոխարեն երկու դեպքում էլ գրված է Յ(300), իսկ հաջորդ և նախորդ անդամները գրված են ճիշտ: Այդ շարքի 19-րդ անդամը 532 թիվը հայոց փոքր տոմարի տարիների թիվն է: 28 թիվը  արևի մեկ փոքր պարբերաշրջանի տևողությունն է տարիներով, իսկ 532 տարին Արևի, Երկրի և Լուսնի մեկ լրիվ  պարբերաշրջանի տևողությունն է: Այնուհետև նույն սյունակի շարունակության վրա ‹‹Է դարք›› արտահայտությունից ներքև 1-ից 7-րդ հազարյակի համար կազմված է տվյալ հազարյակում եղած ամիսների, շաբաթների և օրերի թվերը: Այստեղ նույնպես կան վրիպակներ ԳՌ հազարյակի համար. օրերի թիվը տրված է 1090.000 իսկ պետք է լիներ 1095.000, իսկ հաջորդ 4-րդ (ԴՌ) հազարյակի համար գրված է ճիշտ տվյալները: 5-րդ (ԵՌ)-ի համար օրերի թիվը գրված է 1820000, այնինչ պետք է լիներ 1825000, իսկ 6-րդ (ԶՌ)-ի մեջ շաբաթների թիվը 312 հազարի փոխարեն գրված է ԵԺԲՌ (412Ռ), իսկ օրերի թիվը 2190000-ի փոխարեն գրված է 2185000 և 7-րդ (ԷՌ) հազարյակի համար օրերի թիվը գրված է 2550.000, բայց պետք է լիներ 365000-ի յոթապատիկը 2555.000: Որպես հայոց ‹‹բուն թուական›› ներկայացված է ՑՇ (6500) թիվը, որը մինչև  Քրիստոսի ծնունդը Հայ ժողովրդի  կողմից գրանցված, հաշվարկված տարիների թիվն է: 10բ թերթի 3-րդ սյունակում գրիչը թույլ է տվել ևս մեկ վրիպակ, երբ ՃԺԶ (116)-ի փոխարեն գրել է ՃԾԶ (156), որովհետև 6500-ից եթե հանենք 6384, ապա մնացորդը կլինի 116 և ոչ թե 156, ինչպես նշված է տեքստում: Նույն սյունակի հաջորդ հատվածում գրված է ՐՋՀԶ (5976), որը 12 բոլոր և 124-է, իսկ պետք է լինի 11 բոլոր և 124, որովհետև եթե 5976-ից հանենք 124, կլինի 5852, որն էլ 532-ի վրա բաժանելով կստանանք 11, ոչ թե 12, ուրեմն գրված ԺԲ-ի փոխարեն պետք է լինի ԺԱ: Նույն սյունյակի անմիջապես հաջորդ բաժնում բերված են 336-ով սկսվող (1-ին անդամով) և 336 տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիայի 12 անդամների առաջին 8 անդամները և առանձնացված 4 անդամները և 12-րդ անդամը ստացվում է 4032:

Այժմ փորձենք պարզել, թե ե՞րբ է գրվել -1711 ձեռագրում բերված վեցհազարյակի տեքստը: Ձեռագրի, թթ. 3բ-9բ ներկայացված թվերը մաշտոցյան այբուբենի տառ-թվերին համապատասխան թվերի գումարման, հանման և բազմապատկման աղյուսակներ են: Բերված հանման աղյուսակից երևում է, որ ոչ մի թվի համար չկա a-a=0 տեսքի արտահայտություն: 0-թիվը հայտնագործված և իմաստավորված է մ. թ. VII դարից, իսկ բերված թվաբանական գործողություններից պարզ երևում է, որ նշված տեքստը մշակելու և գրելու ժամանակ 0 թիվ հասկացություն չի եղել, իսկ XV դարի գրչի թույլ տված վրիպակներից և սխալներից էլ պարզ երևում է, որ տեքստի բովանդակության կարևորությունից ելնելով են այն նորից վերարտագրել առանց հասկանալու բուն բովանդակությունը: Ասվածից երևում է, որ -1711 ձեռագրի տեքստի վերջնական մշակումը կատարվել է 5-ից 7-րդ դարերի միջև: Ձեռագրի բազմապատկման աղյուսակից երևում է, որ հաստատուն արտադրիչների շարքում առավելագույն թիվը վեց հազարն է, որով և բազմապատկված է հայոց այբուբենի Ա-ից Ք տառ-թվերը: Վեց հազար թիվը, որպես հաստատուն և առավելագույն թիվ արտադրիչ օգտագործելուց, ինչպես նաև Անանիա Շիրակացու ինքնակենսագրության տեքստից, ելնելով մենք հակված ենք ենթադրելու, որ վեցհազարյակի տեքստերը ունեն շատ հին պատմություն, որոնց ակունքները, ինչպես արդեն նշվեց, ըստ ժողովրդական պատկերացման սկսվում են Թորգոմա տնից: Ելնելով վերոշարադրյալից, մենք պնդում ենք, որ վեցհազարյակի հերմետիկ(փակ) գիտելիքների տերը եղել է հայ ժողովուրդը սկսած նախահայր Թորգոմից:

Եթե արտադրիչներից մեկը փոքր լինի 5-ից (a<5), իսկ մյուսը մեծ 5-ից (b>5) և դրանց գումարը փոքր կամ հավասար լինի 10-ի (a+b(10), կամ (a+b>10) դեպքերի համար բազմապատկման գործողության նկարագրություն մեր կողմից ուսումնասիրված ձեռագրերում չենք հանդիպել: -1711 ձեռագրի տեքստից երևում է, որ 1-ից 5 թվերի և թիվը 10-ով բազմապատկման աղյուսակի իմացությունն անհրաժեշտ և բավարար պայման է 1-ից 9 թվերի բազմապատկման արդյունքը մատների միջոցով հաշվելու համար, իսկ թիվը 10-ով բազմապատկման աղյուսակը հայոց այբուբենն է` քառասյուն տեսքով:

Եթե 1-ից 9 թվերի բազմապատկման դեպքում արտադրիչներից մեկը փոքր լինի 5-ից (a<5), իսկ մյուսը մեծ 5-ից (b>5) և եթե դրանց գումարը (a+b>10) մեծ լինի տասից, ապա a(b արտադրյալը հաշվվում է նույն օրինաչափությամբ, ինչ որ a>5, b>5 և a+b>10 դեպքերում է, որը ներկայացված է -1711 ձեռագրի թ. 15բ–17ա բնագրում, և մեր կողմից վերծանված է, իսկ եթե ցանկանում ենք հաշվել 3(8, ապա ձախ ձեռքի վրա հաշվում ենք 3 մատ և 2 մատ մնում է ազատ, իսկ աջ ձեռքի վրա հաշվում ենք 5 և շարունակում հաշվել ձախ ձեռքի ազատ մնացած 2 մատը, այսինքն 7 և ևս 1 մատ ձախ ձեռքի նախօրոք հաշված 3 մատից  այն արդեն ծալելով, որպես կրկնակի հաշվված մատ: Այժմ ձախ ձեռքի վրա կա 2 բաց մատ (նախօրոք հաշվված 3-ից մեկ մատ ծալված) և 2 բաց մատ հաշվված 8-ից: Ծալված 1-ը բազմապատկում ենք 10-ով, որը կլինի 10 և ձախ ձեռքի 2 բաց մատը բազմապատկում ենք ծալված մատից աջ գտնվող բոլոր բաց մատների թվով աջ և ձախ ձեռքերի վրա, կոնկրետ դեպքում 2+5=7-ով, կստացվի 3(8=1(10+2(7=24 և նույն եղանակով պետք է կատարել մնացած դեպքերում:

Այժմ ներկայացնենք ձեռագիր -1711-ի 10ա, 10բ թերթերի լրիվ տեքստերի և 11ա թերթի ձախակողմյան մասի համապատասխան ժամանակակից համարժեքները:

Ստորև բերվող թվաբանական պրոգրեսիաները խիստ կարևոր նյութ են հայ տոմարագիտության պատմության համար:

1- 96[13]

2- 192

3- 288

4- 384

5- 480

6- 576

7- 672

8- 768

9- 864

10- 960

11- 1056

12- 1152

13- 1248

14- 1344

15- 1440

12-228

13-247

14-266

15-285

16-304

17-323

18-342

19-361

20-380

21-399

22-418

23-437

24-456

25-475

26-494

27-513

28-532

14- 105

15- 120

16- 136

17- 153

18- 171

19- 190

20- 210

21- 231

22- 253

23- 276

24- 300

25- 325

26- 351

27- 378

28- 406

29- 435

30- 465

31- 496

32- 528

33- 561

34- 595

35- [630]

36- 666

37- 703

38- 741

39- 780

40- 820

41- 861

42- 903

43- 946

44- 990

45- 1035

աղհացից

1- 1

2- 2

3- 4

4- 8

5- 16

6- 32

7- 64

8- 128

9- 256

10- 512

11- 1024

12- 2048

13- 4096

14- 8192

15- 16384

16- 32768

17- 65536

երթ ժթ ժթ

դուստր զեկի[14]

1- 19

2- 38

3- 57

4- 76

5- 95

6- 114

7- 133

8- 152

9- 171

10- 190

11- 209

1-1

2-3

3-6

4-10

5-15

6-21

7-28

8-36

9-45

18- 131072

19- 262144

20- 524288

21-10[4]8576 -

22- 2097152

23- 4194304

24-8388608

25- 16777216[15]

[10- 55]

[11- 66]

[12- 78]

[13- 91]

երթ. իը. իը.

1- 28[16]

2- 56

3- 84

4- 112

5- 140

6- 168

7- 196

8- 224

9- 252

10- 280

11- 308

12- 336

13- 364

14- 392

15- [420]

16- [448]

17- 476

18- 504

19- 532

ԳՌ (3 հազարյակ)

36000 ամիս

156000 շաբաթ

1090000 աւր

9- 4788

10- [5320]

11- 5852

12- 6384

և մնայ

[116]

4088

և 2548 են

532 ամ և 38

6580

ԴՌ (4 հազարյակ)

48000 ամիս

208000 շաբաթ

1460000 աւր

(շ եակ

1- 12

2- 24

3- 36

4- [48]

5- 60

6- 72

7- 84

8- 96

9- 108

10- 120

11- [132

12- 144

13- 156

14- 168

15- 180

16- 192

17- 204

18- 216

19- 228

20- 240

21- 252

22- 264

23- 276

24- 288

25- 300

26- [312]

27- 324

28- 336

5976

12

[11]- բոլոր

և 124

12. բժա

336 են վեր

ուստի վայր

ԵՌ 5 հազարյակ

60000 ամիս

260000 շաբաթ

1820000 աւր

ԶՌ (6 հազարյակ)

72000 ամիս

312000 շաբաթ

2185000 աւր

1- 336

2- 672

3- 1008

4- 1344

5- 1680

6- 2016

7- 2352

8- 2688

ԷՌ (7 հազարյակ)

84000 ամիս

364000 շաբաթ

2550000 աւր

գալոց է Քրիստոս

9- 3024

10- 3360

11- 3696

12- 4032

Է  դարք

բուն թուական

է ԳԺ աը

ԱՌ (1 հազարյակ)

12000 ամիս

52000 շաբաթ

365000 աւր

ՑՇ – 6500

1- 532

2- 1064

3- 1596

4- 2128

5- 2660

6- 3192

7- 3724

8- 4256

364 են

1- 364

2- 728

3- 1092

4- 1456

5- 1820

6- 2184

7-  2548

ԲՌ (2 հազարյակ)

24000 ամիս

104000 շաբաթ

730000 աւր

ԱԺԹ[17]

1- 12

2- 24

3- 36

4- 48

5- 60

6- 72

7- 84

8- 96

9- 108

10- 120

11- 132

12- 144

13- 156

14- 168

15- 180

16- 192

17- 204

18- 216

19- 228

11- 143

12- 156

13- 169

14- [182]

15- [195]

16- 208

17- 221

18- 234

19- 247

20- 260

21- 273

22- 286

23- 299

24- 312

25- 325

26- [338]

27- 351

28- 364

յաւել .Է. լինի 235

ԳԺ

1- 13

2- 26

3- 39

4- 52

5- 65

6- 78

7- 91

8- 104

9- 117

10- 130

Ուսումնասիրությունից պարզվեց, որ յոթնագրյանքները ոչ թե ախտարք են, այլ արժեքավոր գործեր են և կարիք ունեն բազմակողմանի լուրջ ուսումնասիրության ու արժևորման:

ЗАГАДКА СЕМИЗАПИСЕЙ

ВАЧАГАН МИРЗОЯН

Резюме

Открыты некоторые тайны армянского маштоцкого алфавита и установлено, что структура алфавита вытекает из математических закономерностей. Расшифрован текст семизаписи рукописи ¹1711 и обосновано, что армяне производили суммирование чисел с помощью пальцев руки, а для умножения считали необходимым и достаточным  знание таблицы умножения от 1-го до 5-ти и умножение цифры на 10n, а дальнейшее суммирование выполняли также посредством пальцев руки. Цитируется отрывок из автобиографии Ширакаци, из которого следует, что вышеотмеченные арифметические действия были известны армянам, начиная со времен дома Торгомаци. Некоторым терминам грабара даны новые соответствующие трактовки на современном армянском (ашхарабар). Исходя из математических закономерностей, исправлены опечатки со стороны переписчиков и дополнены упущения. Доказано также, что текст семизаписи рукописи ¹ 1711 разработан и написан до VII в.

THE MYSTERY OF THE YOTNAGIRS

VACHAGAN MIRZOYAN

Summary

Some secrets of the Armenian alphabet created by Mashtots have been discovered and it has been proved that the structure of the alphabet results from mathematical regularities known to Armenians. The text of the yotnagir manuscript №1711 has been decoded and it has been substantiated that the Armenians summed up numbers with the help of fingers and that they considered necessary and sufficient knowledge of multiplication table from 1 to 5 and knowledge of multiplying numbers by 10n and further summarizing was again done with the help of fingers. The above-mentioned arithmetical actions were known to Armenians from the times of Torgom’s House which can be inferred from the quoted passage from the autobiography of Shirakatsi. Several equivalents in Modern Armenian (Ashkharhabar) have been given to some ancient Armenian (Grabar) terms. Proceeding from mathematical regularities some mistakes made by several scribes have been corrected and oversights have been amplified. It has also been proved that the text of №1711 yotnagir had been written and worked up before the 7th century A.D.

Notes

[←1]

Տե՛ս Պ. Պողոսյան. Եօթնագրյանքի առեղծվածը և Դավիթ Անհաղթը.– Դավիթ Անհաղթ. հոդվածների ժողովածու, Երևան, 1980, էջ 145:

[←2]

Պ. Պողոսյան. 1600-ամյա  գաղտնիքնր, Երևան, 1991, էջ 57:

[←3]

Տե՛ս ՄՄ, ձեռ. -1711, թ. 15բ:

[←4]

Տե՛ս ՄՄ, ձեռ. -1770, թ. 385բ, ձեռ -699, թ. 178բ, ձեռ -4066, թ. 10բ:

[←5]

ՄՄ, ձեռ. -8098, թ. 9բ:

[←6]

Տե՛ս նույն տեղում:

[←7]

Գրաբարյան բնագրում նշված թվաբանական գործողությունները մեր կողմից ներկայացված են հայկական տառ-թվերով, իսկ վերծանված մասում համապատասխան գործողություններն են ժամանակակից թվերով:

[←8]

Ò»é³·ñáõÙ .Ò.è.-Ç ÷áË³ñ»Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ .À.è., áñáíÑ»ï¨ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý Ñ³ßí³ñÏÁ Ï³ï³ñí³Í ¿ .À.è.-Ç Ñ³Ù³ñ:

[←9]

î»ùëïÝ áõÝÇ íñÇå³Ï ¨ ³Õ³í³ÕáõÙ. .Ö. µÇõñÇ ÷áË³ñ»Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ .Ä. µÇõñ:

[←10]

Իսկական ութանկյուն թվերը հետևյալն են. ա, ը, իա, խ, կե, ղզ, ճլգ 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133 ձեռագրում գրված d=8 թվաբանական պրոգրեսիա է,որի առաջին անդամը պետք է լինի 8 և ձեռագրում գրված 1-ը վրիպակ է:ձեռագրի բնագրում ներկայացված  թվերը, սկսած Ը (8)-ից, իրենից ներկայացնում է թվաբանական պրոգրեսիա 8 տարբերությամբ և a_1=8 առաջին անդամով, ծե (85)-ն վրիպակ է և  պետք է լինի Ձը=88 ըստ գրված թվաբանական օրինաչափության, իսկ  ա-ն տվյալ պրոգրեսիայի անդամ չի կարող լինել, որովհետև 8-8=0, 1+8 կլինի 9-ը, բայց գրված է 8, այսինքն գրիչը հավանաբար սխալմամբ ավելացրել է ա-ն, որպես առաջին անդամ:

[←11]

Կոճատն թվերը բնական կենտ թվերն են, սկսած 3-ից, կամ թվաբանական պրոգրեսիա է, որի առաջին անդամը a_1=3-է, իսկ տաբերությունը d=2: Կենտ թվերի առաջին անդամ 1-ը բացակայում է շարքից, որովհետև Դավիթ Անհաղթի ժամանակ 1-ը թիվ չէր համարվում:

[←12]

Դարն թվերն զույգ թվերի շաքն է, սկսած 2-ից, կամ թվաբանական պրոգրեսիա է, որի առաջին անդամը a_1=2, այսինքն a_1=d=2: Զույգ թվերի շարքում բացակայում է 0 թիվը, քանի որ Դավիթ Անհաղթի ժամանակ 0 թիվը գոյություն չուներ:

[←13]

ՄՄ, ձեռ. -1711, թ. 10ա:

[←14]

<<Դուստր զեկի>>-ն եռանկյուն թվերի շարքն է միայն. Առաջին անդամը (3) պետք է լինի 1:

[←15]

8-անիշ թիվը կարդացվում է որպես 2 քառանիշ թիվ:

[←16]

ՄՄ, ձեռ. -1711, թ. 10բ:

[←17]

Տե՛ս ՄՄ, ձեռ. -1711, թ. 11ա:

Table of Contents

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

←1

←2

←3

←4

←5

←6

←7

←8

←9

←10

←11

←12

←13

←14

←15

←16

←17